中国数学工作者问鼎菲尔兹奖的消息引发广泛关注。各方祝贺声浪中，有人开始追问：邓煜投入研究的狭义希尔伯特第六问题、王虹所证明的三维挂谷猜想，其中蕴含着什么样的实际意义？
菲尔兹奖获得者中国数学家邓煜（左一）、王虹（右一）、美国数学家约翰·帕登（左二）和加拿大数学家雅各布·齐默曼在美国费城举行的2026年国际数学家大会开幕式上合影丨新华社/李睿
进而，不少人进一步思考：这些高度抽象、深度理论化的数学研究，其真实用途又在何处？
数学工作并非如日常买菜般的简单计算，更非仅限于火箭发射时的数值运算。若要准确表述其本质，最恰当的描述或许是：纯数学首先并非工具，而是一种语言——一门用以阐述结构、揭示关联、诠释人类未曾见闻事物的语言。
从一根针引发的抽象之旅
这段时间，你大概屡次听说了挂谷宗一提出的那根针：一根针绕平面转过一圈，其扫过的区域面积最少会是多少？
这一问题本身相当具象，具象到使用量尺和量角器就能进行测量。然而数学工作者选择了一条截然不同的路：他们放弃了实测工具。
一根固定长度的针，在尽可能小的区域内完成180°转向，扫过的区域能有多小？图为众多结构中的一种丨wikimedia commons/Claudio Rocchini
早在1919年，贝西科维奇已经证明：这根针扫过的区域面积可以无限缩小，逼近零。
此后的数学研究者并未止步于此，他们自然而然地追问下去：若面积确为零，其具体形态究竟如何？毕竟一个点的面积为零，一条线也无面积。为了进行区分，数学家们引入了”维数”这一概念：点的维数为0、线的维数为1、面的维数为2。
1971年，罗伊·戴维斯证明了：平面内贝西科维奇集合的Hausdorff维数与Minkowski维数皆为2——这个集合虽然面积消失，却在维数意义上填满了整个平面。
数学家们继续追问：在平面上的这种情形是否具有普遍性？在三维空间、乃至更高维的n维欧几里得空间中，包含所有方向单位向量的点集，其Hausdorff维数和Minkowski维数是否也总等于n？
三维空间中的一个挂谷集合丨Quanta Magazine
这个接力棒传到了王虹手中。王虹与合作者约书亚·扎尔合作，用一篇127页、技术论证层层递进的论文，完成了当n=3时问题的肯定回答。
工作中的王虹丨wikimedia commons/Rickinasia
王虹、扎尔证明三维挂谷猜想的预印本论文基本信息
百余年之前挂谷宗一笔下的那根针已然消隐无踪。一个曾极其具体、极其生动的问题，经由深入追究其细节的过程，逐渐演化成了普通人难以企及的抽象领地。
王虹的研究成果获得菲尔兹奖，在数学界看来这项研究分量颇重，各类媒体也试图强调其重要程度——然而其具体的重要性何在、究竟有何作用，似乎鲜有人能真正讲清楚。
这项成果似乎影响着一系列其他数学问题的成立性，但绝大多数人对这些问题也一无所知。有人曾试图指出，挂谷问题与傅里叶分析、偏微分方程等领域相关联，比如它限制了傅里叶变换的误差范围——不过在此问题未解决之前，各类工程师们对傅里叶变换的使用早已习以为常。
经历了这一系列艰涩专业术语的轰炸后，你可能会忍不住发问：这种跨越悠久时光、逐渐变得晦涩难懂的探索究竟指向何处？这些数学工作，难道只是数学家的思维游戏？
从某种角度说，确实如此。
在多数情形下，数学家在提出问题时并未预设实际应用的目标。他们真正关注的是「是否存在」「能否被证明」「与既有理论如何相互联系」这类问题。
数学研究与「学以致用」这一理念代表着完全相反的工作方式：它并非先找应用再创理论；而是先去理解结构，其后等待应用自行显现。
应用可能问世，往往需要很多年之后
从历史发展的角度看，那些曾经令人一头雾水的数学命题在被破解之后的很久很久，常常会以原创者本人完全想象不到的方式重新浮现。
1832年，年仅20岁的法国数学才俊伽罗瓦在一场著名的决斗中失去了生命。他留下的一篇论文试图解答一个看似确切的问题：为什么五次及以上的方程无法找到通用的求根公式？
15岁伽罗瓦的肖像丨wikimedia commons
在寻求答案的旅程中，他为群论和伽罗瓦理论铺设了基石，也开启了对各式代数结构的研究之门。以其名字命名的「伽罗瓦域（亦称”有限域”）」正属于这类代数结构——一种仅含有限数量元素，但对加减乘除都有定义的代数体系。
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最简洁的有限域是基于某个素数进行取模运算。
举个例子，一个仅包含0到6共七个元素的有限域GF(7)中，2加6并不会得到8，而是得到1，原因是8不属于这个集合，所以应该把运算结果对7进行取模，使结果回归到0至6的范围内。
如果2乘以5，结果是3，这是因为10对7取模的余数为3；除法作为乘法的逆运算，既然2乘以5等于3，那么3除以2就等于5。
取模实际上重新定义了四则运算的规则，使其在有限元素集合中保持封闭性。在有限域的运算中，永远不会出现小数或分数，每一次四则运算的结果都必然落在这个有限元素的集合范围内。
伽罗瓦的这套理论日后被发展成了一门称为抽象代数或近世代数的数学分支。对于许多数学系的学生而言，这往往是他们学业中第一个重大的挑战。自那以后的两百余年间，这一理论在数学内部产生了深远的影响，并与众多领域互动发展。
然而也正因其高度抽象的特性，它似乎长期与现实问题之间保持着遥远的距离。
直至百余年后。
20世纪60年代，数字通信技术逐渐兴盛。一个关键的通信工程难题亟需解决：信号在传送途中可能遭损或被干扰，接收方获取的数据存在错误与缺失，该如何才能恢复原初的信息内容？
麻省理工学院林肯实验室的埃尔文·里德（Irving Reed）与古斯塔夫·索罗门（Gustave Solomon）在探索解决方案时，发现了百余年前伽罗瓦遗留的工具。
数字通信的基本单元是字节，一个字节由8位二进制数字组成，取值范围从0到255，共256个数值。若能构建一个包含256个元素的伽罗瓦域，并在这个域中执行四则运算，运算结果始终保持在0到255之间——对于信号传输而言，伽罗瓦域能够供应纠错和数据恢复所必需的精准性。
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GF(7)那样的简单取模在此处无法适用。由于7是素数，对其取模就能得到一个有限域，所有运算都可用取模来实现。
但实际上里德和索罗门运用的是含有256个元素的有限域，而256并非素数。你无法通过对256取模来构造有限域，因为比如2乘以128等于256，对256取模的结果是0，两个非零数的乘积竟然得出零，这会导致除法运算失效。
要构造一个恰有256个元素且加减乘除都能正常进行的域，简单的取模手段是不够的，必须借助伽罗瓦的域扩张理论：从只有0和1的小域GF(2)开始，然后构造一个8次不可约多项式，通过多项式运算来重新定义新的加减乘除运算，将其扩展成包含256个元素的更大的域。
不仅是域本身需要扩张，连加减乘除的定义也要重新设定，这一数学技艺正是数学系学生感到头痛的难点之一，同时也是抽象代数在现实中应用最广泛的地方之一。
以伽罗瓦的理论为基础，有了GF(256)这个域，接下来还需用到多项式。
两个点能唯一确定一条直线，其多项式表示为一次函数；三个点能唯一确定一条抛物线，这是二次多项式；用k个点，可以唯一确定一个k-1次多项式。
二次多项式（左上）、三次多项式（右上）、四次多项式（左下）、五次多项式（右下）在坐标平面上的图形丨wikimedia commons
接下来的做法是，我们不仅传输这k个数据点，而是先通过这个多项式再计算出更多点的纵坐标值，比如算出n个点，把它们一起发送出去。因为n大于k，额外产生的那些点就成了冗余信息。
接收端收到了n个数值。若传输过程完美无缺，任取其中k个数值，就能还原那条多项式曲线，进而恢复原始数据。
倘若传输途中出现问题，n个数值中的某几个可能被噪声改变或直接丢失，冗余的作用就此显现了：一条k-1次曲线只需k个点就能完全确定，多余的点可以进行交叉验证；那些被改坏的值，不会落在原来的曲线上，会与其他正确的数据产生矛盾从而暴露问题；只要出错的数量不超过冗余量的一半，原始数据就能完整地被恢复。
这就是Reed-Solomon码的核心原理。
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我们还是用之前那个只有0到6共七个元素的有限域GF(7)来举个例子。假如你要传输的信息是3和5两个数字，那么把它们作为系数，构建一个一次多项式p(x)=3x+5，然后把x=0,1,2,3代入进去，在有限域中得出4个数值。
p(0)=5
p(1)=8mod7=1
p(2)=11mod7=4
p(3)=14mod7=0
传输的数据就变成了[5,1,4,0]这四个数值，原始信息仅需[3,5]两个数字就能表达，现在传了4个，那么多出来的2个就是冗余数据。
先看数据丢失的情况，传输中第三个值丢了，接收端收到[5, 1, ?, 0]，并且知道是第三个位置丢失。由于一次多项式只需两个点就能唯一确定，现在还剩三个点足够了，取点(0,5)和(1,1)，算出斜率是-4即3，就能还原出p(x)=3x+5，代入x=2，p(2)=11mod7=4，丢失的值就能找回来了。
再看数据被篡改的情况，接收方收到的数据被改为了[5,1,2,0]。这时就需要从四个点里任取两个来拟合一条直线，看哪条直线和最多的点一致。
先取(0,5)和(1,1)，得到p(x)=3x+5。验证剩下两个点：p(2)=4，但收到的是2，出现矛盾，p(3)=0，收到的也是0，吻合。这条线与四个点中的三个相符，一个不在线上。
再取(0,5)和(2,2)来拟合，不难得出p(x)=2x+5。验证p(1)=0，但收到的是1，矛盾，p(3)=4，但收到的是0，也矛盾。这条线仅与两个点相符。
第一条线与三个点相吻合，第二条只与两个点相吻合。那么正确的多项式出线，出错的位置是x=2，正确的值是4，多项式方程为p(x)=3x+5。
当然，实际的算法并不是这样逐一尝试，接收端会通过所收到的数据计算一组名为伴随式的参数，然后利用伴随式构造一个错误定位多项式，在有限域上求其根，每个根都直接指向一个出错的位置，找到后错误的数值就能直接被计算并更正。
在接下来的五十多年中，Reed-Solomon码被投入了许多领域：
1977年发射的旅行者号探测器就载有Reed-Solomon数据编码系统，使得来自太阳系边缘的信号能够正常地接收与传输；
曾经常见的CD光盘，表面有时候被划伤了仍然能够正常播放，这要归功于Reed-Solomon码；
当下我们熟悉的二维码，即便遭到遮挡或出现污点仍然能够被识别，那些最高纠错等级的二维码甚至允许30%的区域被挡住或改动，这里面同样应用了Reed-Solomon码。
从遥远太阳系边缘传回的图像数据，到街边小贩日常使用的二维码，它们的纠错功能都来自伽罗瓦域——这个两百年前并非为了应用而问世的、高度抽象的代数结构。
我们每天都用的扫码支付，技术根源可以追溯到200年前丨图虫创意
还有一些类似的故事。
1781年，法国学者蒙日基于军事工程和建筑中的土方调度优化，思考如何最省力地把一堆土挪去填坑。经过200年的深入追问，这个问题演变成了衡量两个概率分布差异的Wasserstein距离，而今被广泛应用于AI的训练过程；
20世纪70年代，数学家米尔曼（Milman）在研究无穷维banach空间的几何性质时发现的高维随机投影特性，30年后在陶哲轩等数学家的推动下，转化成了压缩感知理论的理论基础，它使得医院核磁共振扫描的耗时从近一个小时大幅缩短到了十几分钟；
当你此刻拿着手机阅读这篇文章时，你的手机建立网络连接所采用的加密技术的根基，来源于19世纪数学研究者们对椭圆曲线离散对数问题的深入研究。
数学是一种语言
上述讲述的故事似乎遵循着一种共有的规律：数学研究往往源于一个具体的问题，比如一根针扫过的面积、一个五次方程的解、如何运输土堆；随后在研究的推进中，问题本身发生了改变，具体的观念逐渐退隐、新的抽象结构逐渐被提炼出来；在对抽象化概念的持续追问中，又诞生了其他的发现。
正因为这样，数学学科变得错综复杂、细致入微，一眼望去令人困惑。
但也正是这种抽象性，这些难以理解的构造反而获得了原先用于描述具体问题时所不具有的能力：它能够诠释完全迥异的、可能人们从未遭遇过的事物。
这就是基础数学与应用间最为妙妙的关联：数学在不断求索的进程中，会把问题抽象化到仅余结构与关联，而同一个抽象的结构却可能适用于截然不同的事物，因而获得新的可能。
那么研究的成果在当下、乃至在研究者的有生之年能有什么具体的用场呢？伽罗瓦不可能预见二维码的出现，蒙日也完全不解人工智能，但伽罗瓦域就是伽罗瓦域、Wasserstein距离就是Wasserstein距离，也许几百年后会被后世巧妙地应用于某项技术，但学术成果由思想而生，其诞生的过程并不需要提前预知它会在何时何地被用上。
回到菲尔兹奖的语境。作为数学界的最高荣誉之一，菲尔兹奖表彰的从来不是某项已经改变世界的发明或产生了经济效益的果实，而是推动了数学学科本身向前迈进一步的工作。在当下，我们也许不清楚邓煜和王虹的研究有什么具体的应用前景，但我们已经知道新的数学构造能够不断成为后继科学与技术活动的基础，这本身就具有价值。
这就是数学运作的方式。
作者：antares
编辑：李小葵
